题目内容
在△ABC中，btanB=ctanC，
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BD是边AC的中线，且BD=
，求△ABC面积的最大值．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BD是边AC的中线，且BD=
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分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，再利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC和cosB，代入化简得到的式子中，整理后因式分解，可得出b=c，确定出三角形ABC为等腰三角形；
（2）设AB=2AD=2DC=2m，利用余弦定理表示出cosA，将设出的边长代入，表示出cosA，利用同角三角函数间的基本关系表示出sinA，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将各自的值代入，整理后被开方数为关于m2的二次函数，利用二次函数的性质即可求出三角形面积的最大值．
（2）设AB=2AD=2DC=2m，利用余弦定理表示出cosA，将设出的边长代入，表示出cosA，利用同角三角函数间的基本关系表示出sinA，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将各自的值代入，整理后被开方数为关于m2的二次函数，利用二次函数的性质即可求出三角形面积的最大值．
解答：解：（1）∵btanB=ctanC，∴b•
=c•
，
又
=
，
∴b2cosC=c2cosB，
∵cosC=
，cosB=
，
∴b2•
=c2•
，
∴b（a2+b2-c2）=c（a2+c2-b2），
整理得：a2b-a2c+b3-c3+b2c-bc2=0，即a2（b-c）+（b-c）（b2+bc+c2）+bc（b-c）=0，
∴（b-c）（a2+b2+2bc+c2）=0，即（b-c）[a2+（b+c）2]=0，
∴b=c，
则△ABC为等腰三角形；
（2）设AD=DC=m，则AB=2m，
根据余弦定理得：cosA=
=
=
，
∴sinA=
=
，
∴S△ABC=
AB•ACsinA=
×2m×2m×
=
=
，
则当m2=
时，（S△ABC）max=2．
| sinB |
| cosB |
| sinC |
| cosC |
又
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴b2cosC=c2cosB，
∵cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
∴b2•
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
∴b（a2+b2-c2）=c（a2+c2-b2），
整理得：a2b-a2c+b3-c3+b2c-bc2=0，即a2（b-c）+（b-c）（b2+bc+c2）+bc（b-c）=0，
∴（b-c）（a2+b2+2bc+c2）=0，即（b-c）[a2+（b+c）2]=0，
∴b=c，
则△ABC为等腰三角形；
（2）设AD=DC=m，则AB=2m，
根据余弦定理得：cosA=
| AB2+AD2-BD2 |
| 2AB•AD |
| 4m2+m2-3 |
| 2×2m×m |
| 5m2-3 |
| 4m2 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| ||
| 4m2 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4m2 |
| ||
| 2 |
| ||||
| 2 |
则当m2=
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点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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