Question

7．已知函数f（x）=ln（x-1+$\frac{1}{a}$）．
（1）当0＜a＜1时，
（i）求函数F（x）=f（x）-m+$\frac{a}{x}$的单调区间，并说明其单调性；
（ii）对于m∈R，函数F（x）是否一定存在零点？请说明理由；
（2）当a=1时，若对于任意正实数b，关于x的不等式bf（x）＞$\frac{x}{2}$+m在[1，e]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）（i）求导数F′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}（x-1+\frac{1}{a}）}$，而函数F（x）的定义域为（$\frac{a-1}{a}$，+∞），F′（x）=0的两根为1，a-1，所以比较a-1和$\frac{a-1}{a}$的大小，根据导数符号即可找出F（x）的单调区间；
（ii）由上一问可以知道F（x）在$（\frac{a-1}{a}，a-1]$上是单调的，而a趋向于0时，F（$\frac{a-1}{a}$）趋向负无穷，而F（a-1）趋向于正无穷，这样即可知道F（x）一定存在零点；
（2）当a=1时，bf（x）=blnx，显然该函数在[1，e]上单调递增，从而最小值为0，从而要满足条件，只需0$＞\frac{x}{2}+m$，从而得到$-\frac{x}{2}＞m$，同样的办法求$-\frac{x}{2}$在[1，e]上的最小值，只要该最小值大于m，从而可求出m的取值范围．

解答 解：（1）（i）F′（x）=$\frac{1}{x-1+\frac{1}{a}}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}（x-1+\frac{1}{a}）}$；
∵0＜a＜1；
∴a-1＜0；
函数f（x）中的x满足$x＞\frac{a-1}{a}$；
而$\frac{a-1}{a}＜a-1$；
∴F（x）在$（\frac{a-1}{a}，a-1）$，（1，+∞）上单调递增，在[a-1，1]上单调递减；
∴F（x）的增区间为（$\frac{a-1}{a}，a-1$），（1，+∞），减区间为[a-1，1]；
（ii）由（i）知，F（x）在（$\frac{a-1}{a}，a-1$）上单调递增，F（a-1）=$ln（a+\frac{1}{a}-2）-m+\frac{a}{a-1}$；
当a趋向0时，F（a-1）趋向于正无穷，而当x趋向$\frac{a-1}{a}$时，F（x）趋向负无穷；
∴F（x）在（$\frac{a-1}{a}，a-1$）上存在一个零点；
∴对于m∈R，函数F（x）一定存在零点；
（2）a=1时，由bf（x）$＞\frac{x}{2}+m$得：blnx$＞\frac{x}{2}+m$；
b＞0，∴函数blnx在[1，e]上单调递增；
∴x=1时，函数blnx取最小值0；
∴$0＞\frac{x}{2}+m$；
即$-\frac{x}{2}＞m$在x∈[1，e]上恒成立；
$-\frac{x}{2}$在[1，e]上的最小值为$-\frac{e}{2}$；
∴$-\frac{e}{2}＞m$，即m$＜-\frac{e}{2}$；
∴实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{e}{2}$）．

点评 考查根据函数导数判断函数单调性、求函数单调区间的方法，二次函数在两根之间和两根之外的符号情况，对数函数的单调性及对数函数的值域，以及对于单调函数在一区间的函数值符号相反时，该函数必在该区间存在一个零点，根据单调性求函数的最小值．