Question

已知在数列{a_n}中，a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，并证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求a₁+a₂+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3，代入计算，可得a₂，a₃，又a_n-n=3[a_n-1-（n-1）]，即可得到数列{a_n-n}是以-2为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列{a_n}的通项，再分组求和，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3，∴a₂=-3-4+3=-4，a₃=-12-6+3=-15
∵a_n=3a_n-1-2n+3，∴a_n-n=3[a_n-1-（n-1）]
∴数列{a_n-n}是以-2为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n-n=（-2）•3^n-1
∴a_n=n-2•3^n-1
∴a₁+a₂+…+a_n=

n(1+n)

2

-3ⁿ+1．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．