Question

设z₁，z₂是两个虚数，且z₁+z₂=-3，|z₁|+|z₂|=4．若θ₁=argz₁，θ₂=argz₂，求cos（θ₁-θ₂）的最大值．

Answer 1

分析：根据题意，设|z₁|=r，则|z₂|=4-r（0＜r＜4），根据arg的意义，可得z₁=r（cosθ₁+isinθ₁），z₂=（4-r）（cosθ₂+isinθ₂），将其代入z₁+z₂=-3，可得

rcosθ1+(4-r)cosθ2=-3 rsinθ1+(4-r)sinθ2=0

，两式平方相加，整理变形可得cos（θ₁-θ₂）与r的关系式，分析可得答案．

解答：解：设|z₁|=r，则|z₂|=4-r（0＜r＜4）．
将z₁=r（cosθ₁+isinθ₁），z₂=（4-r）（cosθ₂+isinθ₂），代入z₁+z₂=-3，得

rcosθ1+(4-r)cosθ2=-3 rsinθ1+(4-r)sinθ2=0

两式平方相加，得r²+（4-r）²+2r（4-r）（cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂）=9，
于是cos（θ₁-θ₂）=

9-r2-(4-r)2

2r(4-r)

=1+

7

2(r-2)2-8

，
当r=2时，cos（θ₁-θ₂）取最大值

1

8

．

点评：本题有一定的难度，注意根据题意中的条件，结合复数的三角表示方法进行解题．