Question

11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，现将三角形ACD沿AC向上折起，满足平面ABC⊥平面ACD，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为5π．

Answer 1

分析 由已知可得三棱锥D-ABC的外接球，即三棱锥B-ACD的外接球，相当于以△ACD为底面，以AB为高的棱柱的外接球；利用勾股定理求出外接球的半径，进而可得表面积．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，∠D=180°-∠B，
∵AB=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，故BC=2，
则AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠B=AD²+CD²-2AD•CD•cos（180°-∠B），
即5-4cos∠B=2+2cos∠B，
解得：cos∠B=$\frac{1}{2}$，故B=60°，
则AC=$\sqrt{3}$，AB⊥AC，
则将三角形ACD沿AC向上折起后，
三棱锥D-ABC的外接球，即三棱锥B-ACD的外接球，相当于以△ACD为底面，以AB为高的棱柱的外接球；
由△ACD的外接圆半径r=1，球心到平面△ACD的距离d=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
故外接球的半径R满足：R²=r²+d²=$\frac{5}{4}$，
故外接球的表面积S=4πR²=5π，
故答案为：5π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积与表面积，其中示出外接球的半径，是解答的关键．