设b＞0,椭圆方程为=1,抛物线方程为x2=8(y-b).如图4所示,过点F作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1. 图4(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.(2)设A.B分别是椭圆长轴的左.右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设b＞0,椭圆方程为

=1,抛物线方程为x²=8(y-b).如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁.

图4

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.

(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

解:(1)由,

易得点G的坐标为(4,b+2),

抛物线在点G处的切线斜率为k=

抛物线在点G处的切线方程为x-4=即y=x+b-2,

又F₁的坐标为(b,0),4b=8(-b),

∴b=1.

椭圆方程为+y²=1,抛物线的方程为x²=8(y-1).

(2)共有四个点.

分别过A、B作x轴的垂线交抛物线于P₁、P₂,

则得到两个直角三角形△ABP₁、△ABP₂.

以AB为直径的圆显然与抛物线有两个交点P₃、P₄,

则又得到两个直角三角形△ABP₃、△ABP₄.

因为P₁A与圆相切于点A，而P₃在圆周上，

所以P₃与P₁不重合，同理P₄与P₂不重合.

故P₁、P₂、P₃和P₄是两两互不相同的点。

练习册系列答案

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=1 ( a＞b＞0 )，它的一个顶点为M（0，1），离心率e=

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

，求△AOB面积的最大值．

简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC．BD．设内层椭圆方程为

=1（a＞b＞0），则外层椭圆方程可设

(ma)2

(mb)2

=1（a＞b＞o，m＞1）．若AC与BD的斜率之积为-

，则椭圆的离心率为

．

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的焦距为4，设右焦点为F₁，离心率为e．
（1）若e=

，求椭圆的方程；
（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若k≥

，求e的取值范围．

设b＞0,椭圆方程为

=1,抛物线方程为x²=8(y-b).如图6所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁.

图6

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.

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