Question

已知四面体ABCD(图1),将其沿AB,AC,AD剪开,展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A₁A₂A₃D(梯形的顶点A₁,A₂,A₃重合于四面体的顶点A).

(1)证明:AB⊥CD.

(2)当A₁D=10,A₁A₂=8时,求四面体ABCD的体积.

Answer 1

 (1)在四面体ABCD中,

⇒AB⊥平面ACD⇒AB⊥CD.

(2)在题图2中作DE⊥A₂A₃于E.

因为A₁A₂=8,所以DE=8.

又因为A₁D=A₃D=10,

所以EA₃=6,A₂A₃=10+6=16.

又A₂C=A₃C,所以A₃C=8,

即题图1中AC=8,AD=10,

由A₁A₂=8,A₁B=A₂B得题图1中AB=4,

所以S_△ACD==DE·A₃C=×8×8=32.

又因为AB⊥平面ACD,

所以V_B-ACD=×32×4=.