Question

求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 

5

4

；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±

3

2

x．

Answer 1

分析：（1）由于双曲线的焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．由题意，得出关于a，c的方程组即可解得a，c，结合b²=c²-a²求出b值，写出双曲线的方程即可；
（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1得出关于a，b的方程组即可解得a，b，写出双曲线的方程即可；同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程．

解答：解：（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由题意，得

2b=12 c a = 5 4 .

解得a=8，c=10．
∴b²=c²-a²=100-64=36．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

x2

64

-

y2

36

=1．
（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
由题意，得

2a=6 b a = 3 2

解得a=3，b=

3

2

．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

x2

9

-

4y2

81

=1．
同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为

y2

9

-

x2

4

=1．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，求双曲线的标准方程，先确定标准方程的形式，再根据条件求出 a，b．