Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且c=$\sqrt{2}$，定点A的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q为C上的动点，求QA的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，从而解得．
（2）利用参数法设Q（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），从而可得|AQ|=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}+（\sqrt{2}sinθ）^{2}}$，从而解得．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，
解得，b²=2，a²=4，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设Q（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
则|AQ|=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}+（\sqrt{2}sinθ）^{2}}$
=$\sqrt{2（cosθ-1）^{2}+1}$，
故当cosθ=-1，即点Q（-2，0）时，
|AQ|_max=3．

点评 本题考查了圆锥曲线的应用及参数法的应用，同时考查了数形结合的思想应用．