Question

已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前n项和。

（1）求函数的表达式；

（2）求数列的通项公式；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的整数i的个数称为这个数列的变号数。令（n为正整数），求数列的变号数。

Answer 1

解：（1）的解集有且只有一个元素，

当a=4时，函数上递减，

故存在，使得不等式成立

当a=0时，函数上递增

故不存在，使得不等式成立

综上，得a=4，

（2）由（1）可知

当n=1时，

当时，

 

（3）由题设，

递增，

即时，有且只有1个变号数；

又

∴此处变号数有2个。

综上得数列的变号数为3。