题目内容

已知函数f(x)＝x(x－6)＋alnx在x∈(2，＋∞)上不具有单调性．

(Ⅰ)求实数a的取值范围；

(Ⅱ)若(x)是f(x)的导函数，设g(x)＝(x)＋6－，试证明：对任意两个不相等正数x1、x2，不等式|g(x1)－g(x2)|＞|x1－x2|恒成立．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)，(2分)

　　∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点(4分)

　　∵是对称轴是，开口向上的抛物线，

　　∴的实数的取值范围(6分)

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)，

　　方法1：，

　　∵，∴，(8分)

　　设，

　　在是减函数，在增函数，当时，取最小值

　　∴从而，∴，函数是增函数，

　　是两个不相等正数，不妨设，则

　　∴，∵，∴

　　∴，即(12分)

　　方法2：、是曲线上任意两相异点，

　　，，

　　(8分)

　　设，令，，

　　由，得由得

　　在上是减函数，在上是增函数，

　　在处取极小值，，∴所以

　　即(12分)


练习册系列答案
相关题目

已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求实数m的值；

(2)作出函数f(x)的图像；

(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；

(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；

(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；

已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

 

已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.

 

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

 

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