Question

已知直线y=a与曲线y=x³-3x+1有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A．[-1，3]
B．（-∞，+∞）
C．（-3，1）
D．（-1，3）

Answer 1

【答案】分析：先将两曲线有三个交点问题，转化为函数f（x）有三个零点问题，利用导数求函数f（x）的单调区间和极值，列不等式即可得a的范围
解答：解：直线y=a与曲线y=x³-3x+1有三个交点即函数f（x）=x³-3x+1-a有三个不同的零点
∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
∴x=-1时，函数取极大值f（-1）=3-a，x=1时，函数取极小值f（1）=-1-a
要使函数f（x）=x³-3x+1-a有三个不同的零点
只需即
∴-1＜a＜3
故选 D
点评：本题主要考查了函数零点与图象交点间的关系和相互转化，三次函数零点个数问题，导数在函数单调性和极值中的应用