Question

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）求

∫

1 -1

4-f(x)

dx=

2π

（只需直接填入结果）．

Answer 1

分析：（1）依题意，f′（x）=2x+2可求得a=1，b=2，△=b²-4ac=0，可求得c=1；
（2）由定积分的几何意义可求得y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积S=

∫

0 -1

（x²+2x+1）dx
（3）令y=

4-(x+1)2

（y≥0），当-1≤x≤1时，可求得

1

4

圆的面积即为所求．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∴f′（x）=2ax+b，
∵f′（x）=2x+2，
∴a=1，b=2，
又方程f（x）=0有两个相等的实根，
∴x²+2x+c=0有两个相等的实根，
∴4-4c=0，c=1．
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）设y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积为S，
则S=

∫

0 -1

（x²+2x+1）dx
=（

x3

3

+x²+x）

|

0 -1

=

1

3

-1+1
=

1

3

．
（3）令y=

4-(x+1)2

（y≥0），则（x+1）²+y²=4（y≥0），
∴

∫

1 -1

4-f(x)

dx为上半圆的面积，
∴

∫

1 -1

4-f(x)

dx=

1

2

π×2²
=2π．
故答案为：2π．

点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法，突出考查定积分的应用，根据y=

4-(x+1)2

（y≥0）的几何意义求

∫

1 -1

4-f(x)

dx是关键，也是难点，属于中档题．