Question

已知函数f（x）=x+（a∈R），g（x）=lnx，
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程=x·[f（x）-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值。

Answer 1

解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
∴，
①当，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当时，
令，
解得，
（ⅰ）若，

∴，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ⅱ）若a＞0，则；
，
∴函数F（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增；
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）令，
令，
当，
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间上单调递减，
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为，
而函数，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为，
∴当时，方程只有一个根。