Question

【题目】如图，三棱柱中，平面，，,点在线段上，且,.

（1）试用空间向量证明直线与平面不平行；

（2）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；

（3）在（2）的条件下，设平面平面，求直线与平面的所成角.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

可建立空间直角坐标系，设，，，，，，

（1）由平面可知，0，，为平面的一个法向量，，即可判定；

（2）求出平面的法向量，利用平面与平面所成的锐二面角为，，建立方程，即可求得结论．

（3）在（2）的条件下，求出直线的方向向量，平面的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系,

设，则，，，，，，

（1）证明：由平面，知为平面的一个法向量，

所以

即直线与平面不平行

（2）平面的法向量，则

取，则，故

所以

解得

（3）在平面内，分别延长，交于点，连接，则直线是平面与平面交线，

，

,

,

设直线与平面的所成的角是，则为平面的一个法向量，

直线与平面的所成角为．