Question

（2012•韶关二模）设f（x）=|x-1|+|x+1|，若不等式f(x)≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是

(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：由题意可得|a|（|x-1|+|x+1|）≥|a+1|-|2a-1|对任意实数a≠0恒成立，而|a+1|-|2a-1|≤|3a|，故有|x-1|+|x+1|≥3，分类讨论求得x的取值集合．

解答：解：由题意可得|x-1|+|x+1|≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

对任意实数a≠0恒成立．
即|a|（|x-1|+|x+1|）≥|a+1|-|2a-1|对任意实数a≠0恒成立．
而|a+1|-|2a-1|≤|a+1+2a-1|=|3a|，
故|a|（|x-1|+|x+1|）≥|3a|，故|x-1|+|x+1|≥3．
∴

x＜-1 1-x+(-x-1)≥3

，或

-1≤x＜1 1-x+(x+1)≥3

，或

x≥1 x-1+x+1≥3

．
x≤-

3

2

，或x∈∅，或x≥

3

2

，故x取值集合是 (-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)，
故答案为 (-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．