Question

已知椭圆的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F₁、F₂．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过，求椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的焦距与短轴长相等，可得b=c，从而可求椭圆C的离心率；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），利用直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过，求出弦AB中点坐标，从而可求椭圆方程．
解答：解：（I）∵椭圆的焦距与短轴长相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴=
∴；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），则，
∴，
又，∴c=1，b=1，a²=2
∴椭圆方程为．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．