Question

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），若f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）≤g（x）恒成立，构造新函数F（x）=f（x）-g（x），则F（x）≤0恒成立，求导函数，是的F（x）的最大值小于0，就可以求出实数a的取值范围

解答：解：设F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)=-

(2x+1)(ax-1)

x

当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，F（x）≤0不可能恒成立；
当a＞0时，令F′（x）=0，得x=

1

a

，x=-

1

2

（舍去）．
当0＜x＜

1

a

时，F′（x）＞0，函数单调递增；当x＞

1

a

时，F′（x）＜0，函数单调递减；
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(

1

a

)，依题意F(

1

a

)≤0恒成立，
即ln

1

a

+

1

a

-1≤0恒成立，
∵gg(a)=ln

1

a

+

1

a

-1单调递减，且g（1）=0，
∴ln

1

a

+

1

a

-1≤0成立的充要条件是a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：此题主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想．