题目内容

在△ABC中，已知 $数学公式$ ，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的点，且 $数学公式$ ，则xy的最大值为________．

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分析：由条件求得bccosA=9， $\text{[math]}$ bcsinA=6，tanA= $\text{[math]}$ ，可得c=5，b=3，a=4，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．
解答：△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．
∵ $\text{[math]}$ =9，S_△ABC=6，∴bccosA=9， $\text{[math]}$ bcsinA=6，∴tanA= $\text{[math]}$ ．
根据直角三角形可得sinA= $\text{[math]}$ ，cosA= $\text{[math]}$ ，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +（1-λ） $\text{[math]}$ =（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）．
设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1，且 $\text{[math]}$ =（1，0）， $\text{[math]}$ =（0，1）．
∴ $\text{[math]}$ =（x，0）+（0，y）=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥2 $\text{[math]}$ ，解得xy≤3，
故所求的xy最大值为：3．
故答案为 3．
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的 $\text{[math]}$ 是一个单位向量，从而可用x，y表示 $\text{[math]}$ ，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值，属于中档题．