Question

函数f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)，x∈R．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）求f（x）在[0，π]上的减区间．

Answer 1

分析：可先对函数f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)，x∈R进行化简，得到f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）由正弦函数的性质令相位

x

2

+

π

4

=kπ+

π

2

，解出x即可得到对称轴方程；
（2）由正弦函数的性质令2kπ-

π

2

＜

x

2

+

π

4

＜2kπ+

π

2

解出x的范围，再与[0，π]取交集得到f（x）在[0，π]上的减区间

解答：解：由题意f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）令相位

x

2

+

π

4

=kπ+

π

2

，解得，函数的对称轴方程为：x=2kπ+

π

2

(k∈Z)…（4分）
（2）令2kπ-

π

2

＜

x

2

+

π

4

＜2kπ+

π

2

，解得4kπ-

3π

2

＜x＜4kπ+

π

2

，
即函数的递减区间是[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

]，k∈z
故f（x）在[0，π]上的减区间为：[

π

2

，π]…（5分）

点评：本题考查正弦函数的单调性，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质--单调性、图象的对称性，本题是三角函数基本性质考查题，其设计的主要目的是考查基本知识与基本技能的掌握情况．正弦函数的性质也是近几年高考的热点，熟练掌握、灵活运用方能正确快速解答出此类题．