Question

（2006•石景山区一模）已知函数f(x)=cos(π-x)sin(

π

2

+x)+

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值及最小值；
（Ⅲ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x的范围求出这个角的范围，求出正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值及最小值；
（Ⅲ）根据正弦函数的单调性即可确定出函数的单调增区间．

解答：解：f（x）=-

1

2

-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴当x=0，即2x-

π

6

=-

π

6

时，f（x）有最小值-1，
当x=

π

3

，即2x-

π

6

=

π

2

时，f（x）有最大值

1

2

；
（Ⅲ）∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+2kπ≤2x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．