Question

若a＞0，b＞0，a³+b³=2．求证

<

a+b≤2，ab≤1．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析　 由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”． 证法一　 (作差比较法) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 (a＋b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3[ab(a+b)－2]=3[ab(a+b)－(a3+b3)]=－3(a+b)(a－b)2≤0， 即　　　　　　 (a+b)3≤23． 证法二　 (平均值不等式—综合法) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 < 所以a+b≤2，ab≤1． 证法三　 (构造方程) 设a，b为方程x2－mx+n=0的两根．则 因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2－4n≥0．① 因此< span lang=EN-US style='font-size:10.5pt; font-family:"Times New Roman";color:black'>2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)[(a+b)2－3ab]=m[m2－3n]，所以 将②代入①得：，即： 所以a+b≤2． 由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．お 评述 　认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点． 证法四　 (恰当的配凑) 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)， 于是有6≥3ab(a+b)，从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3， 所以a+b≤2．(以下略) 即a+b≤2．(以下略) 证法六　 (反证法) 假设a+b＞2，则 a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)[(a+b)2－3ab]＞< /span>2(22－3ab)． 因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1．　　　　　　　　　　　　① 另一方面， 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=(a+b)·ab＞2ab， 所以ab＜1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      　 ② 于是①与②矛盾，故a+b≤2．(以下略) 评述　 此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法．