Question

已知椭圆

x2

2a2

+

y2

2b2

=1（a＞b＞0）与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  1

  2

• C．

  6

  6

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合它们的方程得出关于a，b的等式，找到a=

3

b，再根据这个关系得到椭圆的长半轴m=

2

a=

6

b，而短半轴n=

2

b，从而得到c用b表示的关系式，用离心率的公式可得到此椭圆的离心率．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

2a2

+

y2

2b2

=1（a＞b＞0）
∴椭圆焦点坐标为F（±c，0）
其中c满足：c²=2a²-2b²…①
又∵双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1且与已知椭圆有相同的焦点
∴双曲线焦点坐标也为F（±c，0），
满足c²=a²+b²…②．
对照①②，得2a²-2b²=a²+b²，
∴a²=3b²⇒a=

3

b，
可得椭圆的长半轴m=

2

a=

6

b
短半轴n=

2

b
∴半焦距c=

m2-n2

=2b
离心率e=

c

m

=

2b

6 b

=

6

3

，
即则椭圆的离心率为

6

3

．
故选D．

点评：本小题考查双曲线与椭圆的关系，考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．