Question

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆G与x轴交于A、C两点，与y轴交于B、D两点，且A点的坐标为（-2，0），四边形ABCD的面积为4．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过x轴上一点M（1，0）作一条不垂直于y轴的直线l，交椭圆G于E、F点，是否存在直线l，使得△AEF的面积为

7

，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由A（-2，0），知AC=4，由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S=

1

2

×AC×BD=4，故BD=2，所以椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且且a=2，b=1，由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为x=my+1，由

x=my+1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=4m²+12（m²+4）＞0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

，由此能推导出不存在直线l，使得△AEF的面积为

7

．

解答：解：（1）∵A（-2，0），∴AC=4，
由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S=

1

2

×AC×BD=4，
∴BD=2，
∴椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且a=2，b=1，
∴椭圆G的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）∵直线l不垂直于y轴，∴设直线l的方程为x=my+1，
由

x=my+1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2my-3=0，
△=4m²+12（m²+4）＞0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=

8

m2+4

，
x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=

4-4m2

m2+4

，
设△AEF的面积为S，则S=

1

2

|AM|×||y1-y2|，
故S2=

9

4

((y1-y2)2=

9

4

[

4m2

(m2+4)2

+

12

m2+4

]
=9×

4m2+16-4

(m2+4)2

=9×(

4

m2+4

-

4

(m2+4)2

)，
令

1

m2+4

=t，则t∈(0，

1

4

]，
则S2=36(t-t2)≤

27

4

＜7，故S≠

7

，
所以不存在直线l，使得△AEF的面积为

7

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和判断是否存在直线方程，使得三角形的面积为定值．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意计算能力和解题能力的培养．