Question

如图，已知△AOB，∠AOB＝，

∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．

(Ⅰ) 当平面COD⊥平面AOB时，求的值；

(Ⅱ) 当∈[,]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

 

Answer 1

本题主要考查空间面面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

解法一：

(Ⅰ) 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，

则A (0，0，2)，B (0，2，0)，

D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．

设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，

由　得

取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．

因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，

由平面COD⊥平面AOB得＝0，

所以cos＝0，即＝．　　　　　　　　　………………………7分

(Ⅱ) 设二面角C－OD－B的大小为,

由(Ⅰ)得

当＝时， cos＝0；

当∈(,]时，tan≤－，

cos= ＝＝－，

 故－≤cos＜0．

综上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．   …………15分

解法二：

(Ⅰ)  解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，

因为平面AOB⊥平面COD，

平面AOB∩平面COD＝OD，

所以BE⊥平面COD，

故BE⊥CO．

又因为OC⊥AO，

所以OC⊥平面AOB，

故OC⊥OB．

又因为OB⊥OA，OC⊥OA，

所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，

即＝．             ………………………………………7分

 (Ⅱ) 解：当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；

当∈(,]时，

过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，

则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．

在Rt△OCF中，CF＝2 sin，OF＝－2cos，

在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝－cos，CG＝，

所以cos∠CGF ＝＝－．

因为∈(,]，tan≤－，

故0＜cos∠CGF＝≤．

所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为 [－，0]．  ……………15分