Question

若一次函数f（x）满足f[f（x）]=x+1，则的值域为________．

Answer 1

[2，+∞）
分析：函数f（x）的形式是一次函数，利用待定系数先设出f（x），代入等式f[f（x）]=x+1，解方程求出f（x）得到g（x）的解析式，然后利用基本不等式可求出函数g（x）的值域．
解答：设f（x）=kx+b（k≠0）
∴f[f（x）]
=k（kx+b）+b
=k²x+kb+b
=k²x+（k+1）b…①
依题意：f[f（x）]=1+x…②
∴比较①和②的系数可得：
k²=1…③
（k+1）b=1…④
由③④得：k=1，b=，k=-1（舍去）
∴f（x）=x+
则g（x）==x++1≥2+1=2
当且仅当x=时取等号
∴的值域为[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及利用基本不等式求函数的值域，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．