Question

若函数f（x）=-x²+（a+2）x+2+b，log₂f（1）=2，且g（x）=f（x）-2x为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[m，+∞）的最大值为3-3m，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用条件log₂f（1）=2和g（x）=f（x）-2x为偶函数确定a，b．
（2）利用f（x）在区间[m，+∞）的最大值为3-3m，确定m的值．
解答：解：（1）因为log₂f（1）=2，所以f（1）=4，即-1+a+2+2+b=4，即a+b=1．
又g（x）=f（x）-2x=-x²+（a+2）x+2+b-2x═-x²+ax+2+b，
因为g（x）=f（x）-2x为偶函数，所以a=0，解得b=1．
所以f（x）=-x²+2x+3．
（2）因为f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，对称轴为x=1．
当，可得m=5．
当m＜1，f（x）_max=4=3-3m，可得．
综合得m=5或m=．
点评：本题主要考查了二次函数的解析式和二次函数的性质，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．