Question

已知直线l：y=x+1与曲线C：交于不同的两点A，B，O为坐标原点．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；
（Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且时，求曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线L与曲线C的交点利用两点间的距离公式和题设等式求得x₁²-x₂²=y₂²-y₁²，把A，B代入椭圆的方程两式相减求得整理求得a和b的关系，判断出曲线的图象是圆．
（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点根据a＞b判断出曲线C为椭圆，根据OA⊥OB判断出两直线的斜率之积为-1，求得y₁y₂=-x₁x₂，将y=x+1代入椭圆的方程，利用韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而利用直线方程求得y₁y₂的表达式，进而建立等式求得关于a和c的方程，求得a和c的关系式，进而表示出椭圆的离心率，利用a的范围确定离心率的范围．
解答：（Ⅰ）证明：设直线L与曲线C的交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵|OA|=|OB|
∴即：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
∴x₁²-x₂²=y₂²-y₁²
∵A，B在C上
∴，
∴两式相减得：
∴即：a²=b²
∴曲线C是一个圆
（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∵a＞b＞o
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆
∵OA⊥OB
∴即：y₁y₂=-x₁x₂
将y=x+1代入b²x²+a²y²-a²b²=0整理得：
（b²+a²）x²+2a²+a²-a²b²=0
∴，
∵A，B在L上∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₂+x₁+1
又∵y₁y₂=-x₁x₂
∴2x₁x₂+x₂+x₁+1=0
∴2
∴b²+a²-2b²a²=0
∴a²+a²-c²-2a²（a²-c²）=0
∴2a⁴-2a²+c²-2c²a²=0
∴
∴
∵
∴2a²-1∈[2，4]
∴
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的基本性质．要求考生能对椭圆中a，b和c的关系能熟练理解和应用．