Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）若在处的切线与直线平行，求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得在处的导数值等于切线斜率，即，而，解得（Ⅱ）因为，所以根据导函数是否变号进行讨论：当时， >0，递增区间为（0，+∞）.当时，导函数有一零点，列表分析导函数符号可得：单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.（Ⅲ）先化简所证不等式：要证，即证，因为函数的图象与x轴有两交点，所以，所以需证：即.利用A,B两点在上得，代入化简得只需证，令，构造，利用导数可得g（t）在（0，+∞）上是增函数，即g（t）< g（1）=0，从而得证

试题解析：（I）由题知的定义域为（0，+∞），

且.

又∵f（x）的图象在处的切线与直线平行，

∴，

解得. …………4分

（Ⅱ），

由x>0，知>0.

①当a≥0时，对任意x>0，>0，

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）.

②当a<0时，令=0，解得，

当时，>0，当时，<0，

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.… 9分

（Ⅲ）不妨设A（，0），B（，0），且，由（Ⅱ）知，

于是要证<0成立，只需证：即.

∵， ①

， ②

①-②得，

即，

∴，

故只需证，

即证明，

即证明，变形为，

设，令，

则，

显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时，=0，

∴g（t）在（0，+∞）上是增函数.

又∵g（1）=0，

∴当t∈（0，1）时，g（t）<0总成立，命题得证. ……………14分