Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式f（x）；
（2）若函数f（x）满足方程f（x）=；求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，算出f（x）的周期T=2（-），结合周期公式解得ω=3，再结合当x=时y取最大值1解出φ=-，即可得到函数的解析式；
（2）由（1）的结论，得函数在[0，2π]内恰有3个周期，根据正弦函数图象的对称性，得到在[0，2π]内有6个根且分别关于直线x=、x=和x=对称，由此加以计算即可得到所有实数根之和．
解答：解：（1）由题意，得
周期T==2（-），解得ω=3
又∵当x=时y取最大值1
∴sin（+φ）=1，结合|φ|＜可得φ=-
因此函数的解析式为f（x）=sin（3x-）；
（2）∵f（x）=sin（3x-）的周期为
∴函数在[0，2π]内恰有3个周期，
并且方程在[0，2π]内有6个实根，
且x₁+x₂=，
同理可得x₃+x₄=且x₅+x₆=
∴f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和为：++=．
点评：本题给出三角函数图象满足的条件，求函数的表达式并求f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和．着重考查了三角函数的周期公式、图象的对称性和最值点对应的自变量等知识，属于中档题．