题目内容

函数y=
x21-x
在x∈（1，+∞）上的最大值为
-4
-4
．
分析：将函数y=
x2
1-x
的解析式，化为y=-[（x-1）+
1
x-1
]-2，进而根据基本不等式，可求出函数的值域，进而得到函数的最值．
解答：解：y=
x2
1-x
=
(1-x)2-2(1-x)+1
1-x
=（1-x）+
1
1-x
-2=-[（x-1）+
1
x-1
]-2
∵x∈（1，+∞）时，x-1＞0，
由基本不等式可得（x-1）+
1
x-1
≥2
则y≤-4
故函数y=
x2
1-x
在x∈（1，+∞）上的最大值为-4
故答案为：-4
点评：本题考查的知识点是求函数的最值，其中利用凑配法，将函数的解析式进行变形是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（
2a
2b
）的两^E值分别为λ1=-1和λ2=4．
（I）求实数的值；
（II ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为
x=sinα
y=2cos2α-2
，
（a为餓），曲线D的鍵标方程为ρsin（θ-
π
4
）=-
3
2
2
．
（I ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（II）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（I）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（II）利用（I）的结论求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．
已知定义在(
3
2
，3)上的两个函数f(x)=
a
1+x2
，g(x)=
1
x
-
3
16
，y=f(x)的图象在点A(
3
，f
3
)处的切线的斜率为-
3
4
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试求实数k的最大值，使得对任意x∈(
3
2
，3)，不等式f(x)≥kg(x)恒成立；
（3）若x1，x2，x3∈(
3
2
，3)，且3x1x2x3=2(x1x2+x2x3+x3x1)，求证：
1
1+
x
2
1
+
1
1+
x
2
2
+
1
1+
x
2
3
≥
3
5
．
下列说法正确的是
 
．（只填正确说法序号）
①若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x2-1}，则A∩B={（0，-1），（1，0）}；
②y=
x-3
+
2-x
是函数解析式；
③若函数f（x）在（-∞，0]，[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数；
④y=
1-x2
1-|3-x|
是非奇非偶函数；
⑤函数y=log
1
2
(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，1）．
下列叙述
①对于函数f（x）=-x2+1，当x1≠x2时，都有
f(x1)+f(x2)
2
＜f（
x1+x2
2
）；
②设f（x）=
1+x2
1-x2
则f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2012
）=0；
③定义域是R的函数y=f（x）在[a，b）上递增，且在[b，c]上也递增，则f（x）在[a，c]上递增；
④设满足3x=5y的点P为（x，y），则点P（x，y）满足xy≥0．
其中正确的所有番号是：
①②④
①②④
．

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