Question

【题目】如图，已知椭圆： ，其左右焦点为 及，过点的直线交椭圆于， 两点，线段的中点为， 的中垂线与轴和轴分别交于， 两点，且、、构成等差数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）记的面积为， （为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由、、构成等差数列，可得，又，可求得，则椭圆的方程可求；

（2）（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与， 轴垂直．．设 方程为 ，联立椭圆方程，消去，得到 的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合条件，得到的方程，解出即可判断．

试题解析：

（1）因为、、构成等差数列，

所以，所以，

又因为，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与， 轴垂直．

设方程为，

将其代入，整理得，

设， ，所以，

故点的横坐标为，所以．

因为，所以，解得，即．　

∵和相似，∴若，则，

∴

整理得，因此此方程无解，

所以不存在直线，使得.