Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AB=2

3

，AE=6，求EC的长．

Answer 1

分析：（1）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可
（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA²=OE²+AE²，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在△BCE中，通过EC与BE的关系可求．

解答：解（1）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．
（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即（r+2

3

）²=r²+6²，
解得r=2

3

，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=

1

2

BE=

1

2

3

r=3．

点评：本题主要考查了切线的判定定理的应用，直角三角形基本关系的应用，属于基本知识的简单综合．