Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左，右焦点，A为椭圆的上顶点．曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，过点F₁的直线l交曲线C于x轴上方两个不同的点P，Q，设

F1P

=λ

F1Q

．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AF₂的内切圆的方程；
（Ⅲ）若λ=

1

4

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定抛物线C的顶点为坐标原点，焦点，由此可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）确定△F₁AF₂是等边三角形，求出△F₁AF₂的内切圆的圆心与半径，可得△F₁AF₂的内切圆的方程；
（Ⅲ）设l的方程代入C，由△＞0可得0＜k＜1，根据

F1P

=λ

F1Q

，结合韦达定理，可求直线的斜率，从而可得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F₂（1，0），∴

p

2

=1．…（2分）
∴抛物线C的方程为y²=4x．               …（3分）
（Ⅱ）∵F₁（-1，0），F₂（1，0），B(0，

3

)，∴△F₁AF₂是等边三角形．
∴△F₁AF₂的内切圆的圆心为(0，

3

3

)，半径为

3

3

，…（5分）
∴△F₁AF₂的内切圆的方程为x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．           …（6分）
（Ⅲ）设l：y=k（x+1），k＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）．
将l代入C得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0．             …（8分）
∵l与C有那样的两个交点，∴由△＞0可得0＜k＜1．
∵

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂．        …（9分）
又

y12

y22

=

4x1

4x2

=

x1

x2

，根据x₁x₂=1可得：x₁=λ，x2=

1

λ

．      …（10分）
当λ=

1

4

时，根据x1+x2=-

2k2-4

k2

=-2+

4

k2

得k=

4

5

．        …（11分）
∴直线l的方程为4x-5y+4=0．                       …（12分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形的内切圆，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．