Question

如图，已知双曲线E：的左、右焦点分别为
F₁（-c，0）、F₂（c，0），点A（c，b），B（0，b），O为坐标原点，直线OA与直线F₂B的交点在双曲线E上．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线F₁A与双曲线E 交于M、N两点，，，若λ+μ=4，求双曲线E的方程．
（3）在（2）的条件下，过点B的直线与双曲线E相交于不同的两点P、Q，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将F₂B的中点代入双曲线E的方程可得，由此能导出e．
（2）由e=得，化简方程E为4x²-y²=b²，又直线F₁A的方程为，代入双曲线E化简得（20b²-1）y²-20by+4b²=0，由此能得到所求双曲线E的方程．
（3）由B（0，1），设直线BP的方程为y=kx+1，代入双曲线E的方程4x²-y²=1，得（4-k²）x²-2kx-2=0，记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，由此能得到的取值范围．
解答：解：（1）将F₂B的中点代入双曲线E的方程可得：

则e=．
（2）由e=得，化简方程E为：
4x²-y²=b²
又直线F₁A的方程为，即x=，
代入双曲线E化简得：
（20b²-1）y²-20by+4b²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴
由题意知，，，
则=，
∴b²=1，
即b=1
故所求双曲线E的方程为4x²-y²=1
（3）由（2）知B（0，1），由题意可设直线BP的方程为：
y=kx+1
代入双曲线E的方程4x²-y²=1，化简得：
（4-k²）x²-2kx-2=0，
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则
∴k²＜8
，
令，则
∵0≤k²≤8
∴，
解得或m，
故所求的取值范围为（-．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．