Question

如图，已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右准线l₁与一条渐近线l₂交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点．
（I）求证：

OM

⊥

MF

；
（II）若|

MF

|=1且双曲线C的离心率e=

6

2

，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线l₃过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足

AP

=λ

AQ

，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得点M（

a2

c

，

ab

c

），F（c，0），

MF

=（

b2

c

，-

ab

c

），计算

OM

•

MF

=0即可；
（Ⅱ）由e=

6

2

，可得a²=2b²，又|

MF

|=1，可求得双曲线C的方程为：

x2

2

-y2=1；
（Ⅲ）设l₃：y=kx+1，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2-2y2=2 y=kx+1

联立得（1-2k²）x²-4kx+4=0，结合l₃与双曲线C右支交于不同的两点P、Q，列关系式可求得-1＜k＜-

2

2

，再结合

AP

=λ

AQ

，即可求得λ的取值范围．

解答：证明：（I）∵右准线l1：x=

a2

c

，渐近线l2：y=

b

a

x，
∴M(

a2

c

，

ab

c

)，
∵F（c，0），c²=a²+b²，
∴

OM

=(

a2

c

，

ab

c

)，

MF

=(c-

a2

c

，-

ab

c

)=(

b2

c

，-

ab

c

)，
∵

OM

•

MF

=

a2b2

c2

-

a2b2

c2

=0，
∴

OM

⊥

MF

…（3分）
（II）∵e=

6

2

，
∴

b

a

=

e2-1

=

2

2

，
∴a²=2b²，
∵|

MF

|=1，
∴

b4

c2

+

a2b2

c2

=1，
∴

b2(b2+a2)

c2

=1
∴双曲线C的方程为：

x2

2

-y2=1…（7分）
（III）由题意可得0＜λ＜1…（8分）
证明：设l₃：y=kx+1，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x2-2y2=2 y=kx+1

得（1-2k²）x²-4kx+4=0∵l₃与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
∴

1-2k2≠0 △=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= 4k 1-2k2 ＞0 x1x2=- 4 1-2k2 ＞0

  ∴

k≠± 2 2 k2＜1 k＜0 1-2k2＜0

，
∴-1＜k＜-

2

2

…（11分）
∵

AP

=λ

AQ

，
∴（x₁，y₁-1）=λ（x₂，y₂-1），得x₁=λx₂

∴(1+λ)x2= 4k 1-2k2 ，λ x 2 2 =- 4 1-2k2 ∴ (1+λ)2 λ = 16k2 -4(1-2k2) = 4k2 2k2-1 =2+ 2 2k2-1

∵-1＜k＜-

2

2

，
∴0＜2k²-1＜1，
∴

(1+λ)2

λ

＞4，
∴（1+λ）²＞4λ，
∴λ²-2λ+1＞0
∴λ的取值范围是（0，1）…（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查双曲线的标准方程与简单几何性质及其应用，难点在于（Ⅲ）λ的范围的求解，方程思想与转化思想的综合运用，属于较难的题．