Question

函数f（x）=

ax2+1，x≥0 (a2-1) eax，x＜0

在（-∞，+∞）上单调，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  2

  ]∪（1，

  2

  ]
• B、[-

  2

  ，-1）∪[

  2

  ，+∞）
• C、（1，

  2

  ]
• D、[

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：分情况讨论函数的单调性①当函数在（-∞，+∞）上单调递减时，分区间使函数在每个区间上都单调递减，再保证（a²-1）e^a×0≥a×0²+1，解出a的范围去交集即可．②当函数在（-∞，+∞）上单调递增时，类比单调递减求解即可．最后将上面a的范围去并集即可得到答案．

解答：解：当函数在（-∞，+∞）上单调递减时，
当x≥0时f（x）=ax²+1是单调递减函数，所以a＜0．
当x＜0时f（x）=（a²-1）e^ax是单调递减函数，所以f′（x）=a（a²-1）e^ax≤0
因为a＜0，所以a≤-1．
当a=-1时f（x）=0不具有单调性，所以a=-1舍去．所以a＜-1．
又因为函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以（a²-1）e^a×0≥a×0²+1解得a≤-

2

或a≥

2

．
由以上可得a≤-

2

．
当函数在（-∞，+∞）上单调递增时，
当x≥0时f（x）=ax²+1是单调递增函数，所以a＞0．
当x＜0时f（x）=（a²-1）e^ax是单调递增函数，所以f′（x）=a（a²-1）e^ax≥0
因为a＞0，所以a≥1．
当a=1时f（x）=0不具有单调性，所以a=1舍去．所以a＞1．
又因为函数f（x）在（-∞，+∞）上单调增减，所以（a²-1）e^a×0≤a×0²+1解得-

2

≤a≤

2

．
由以上可得1＜a≤

2

．
综上所述可得a≤-

2

或1＜a≤

2

．
故选A．

点评：解决这种分段函数单调性问题的关键是先分区间保证函数单调递减或递增，再保证最值之间满足大小关系即可．