Question

过椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的左焦点F作椭圆的弦AB．如图
（1）求此椭圆的左焦点F的坐标和椭圆的准线方程（x=±

a2

c

）；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由方程知 a=

5

，b=2，从而求得焦点坐标和离心率的值．
（2）由

y=k(x+1) x2 5 + y2 4 = 1

 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，故 x₁+x₂=

-10k2

4+5k2

，再由中点公式得x=

-5k2

4+5k2

，又由  y=k（x+1）可得  4x²+4x+5y²=0，即为所求．

解答：解：（1）由方程知 a=

5

，b=2，故左焦点F（-1，0），
离心率 e=

c

a

=

5

5

．
（2）设M（x，y），A（ x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），直线AB方程为 y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 5 + y2 4 = 1

 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，
∴x₁+x₂=

-10k2

4+5k2

，因为M是AB中点，有 x=

x1+x2

2

，
∴x=

-5k2

4+5k2

，∴k²=

-4x

5(x+1)

，
又由  y=k（x+1）可得  y²=k²（x+1）²，∴y²=

-4x

5(x+1)

 （x+1）²，
∴5y²=-4x（x+1），即 4x²+4x+5y²=0，即 4(x+

1

2

)2+5y²=1，
当直线AB的斜率k不存在时，AB⊥x轴，AB中点M 的坐标为（-1，0），也适合上述方程，
故  4(x+

1

2

)2+5y²=1 为所求．

点评：本题考查点轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，得到 y²=

-4x

5(x+1)

 （x+1）²，是解题的关键．