Question

等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BD是AC边上的中线，AE⊥BD交BC于E，用坐标法证明：∠ADB=

∠CDE.

Answer 1

证明:建立坐标系如图所示，设|AB|=|AC|=a，则在坐标系中各点坐标是A(0，0)、B(0，a)、C(a，0)、D(，0).

由斜率公式得k_BD==－2.

由已知AE⊥BD，得AE所在的直线方程是y=x.

E点的坐标(x₀，y₀)满足解得

k_DE===2.

也就是tan∠CDE=2.

而tan∠ADB=tan(180°－∠CDB)=－tan∠CDB=－k_BD=－(－2)=2，

∴tan∠CDE=tan∠ADB.

又∠CDE和∠ADB都是锐角，∴∠CDE=∠ADB.