Question

8．已知函数f（x）=alnx+$\frac{4}{x+1}$（a∈R）．
（1）当a≥1时，求f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值与最小值之和；
（2）若f（x）在定义域内单调递增区间和单调递减区间均存在，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对原函数求导，然后根据a的范围结合基本不等式判断导数的符号，最终得到函数f（x）的单调性，问题获解；
（2）只需导数在定义域（0，+∞）上有变号的根即可．结合二次函数的图象解决问题．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+1+2x）-4x}{x（x+1）^{2}}$．
因为x＞0，且x²+1≥2x＞0，所以f′（x）$≥\frac{4x（a-1）}{x（x+1）^{2}}$，因为a≥1，所以a-1≥0．
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以f（x）_min+f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$）+f（e）=4．
（2）由（1）知$f′（x）=\frac{a{x}^{2}+（2a-4）x+a}{x（x+1）^{2}}$．显然x（x+1）²＞0．
令g（x）=ax²+（2a-4）x+a，由题意，只需g（x）=0在（0，+∞）上有变号根即可．
当a=0时，g（x）=-4x，令g（x）=0，得x=0显然不符题意；
当a＜0时，该函数对称轴为$x=-\frac{2a-4}{2a}＜0$，且g（0）=a＜0，所以此时g（x）=0不会有正实数根，故a＜0不符合题意；
当a＞0时，因为g（0）=a＞0，所以要使g（x）=0有正的变号根，只需
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2a-4）^{2}-4{a}^{2}＞0}\\{-\frac{2a-4}{2a}＞0}\end{array}\right.$即可，解得0＜a＜1．
故a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，进一步求最值的思路，第二问将函数的单调性问题转化为函数的零点问题求解，概念性较强，要注意体会转化的过程．