题目内容
已知函数f（x）=x3-ax2-3x（Ⅰ）若函数f（x）在[1+
| 2 |
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f′（x）+3x2，求g（x）的单调区间．
分析：（Ⅰ）先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在区间上单调递增或递减，转化为f′（x）≥0在[1+
，+∞)恒成立，列出关于a的不等关系解之即得；
（Ⅱ）先写出g（x）的表达式，求出其导数，最后求出单调区间即可．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定
f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
| 2 |
（Ⅱ）先写出g（x）的表达式，求出其导数，最后求出单调区间即可．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定
f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2-2ax-3，（1分）
∵f（x）在[1+
，+∞)上是增函数，
∴f′（x）≥0在[1+
，+∞)恒成立
即a≤
在[1+
，+∞)恒成立?a≤(
)min=3（3分）
又∵f′（x）在（-∞，1]上是减函数，∴
≥1?a≥3，（5分）
∴a=3．（6分）
（Ⅱ）g（x）=x3-ax2-3x-（3x2-2ax-3）+3x2=x3-ax2-（3-2a）x+3
g′（x）=3x2-2ax+（2a-3）=0?x1=1，x2=
（8分）
（ⅰ）当a≥3时，x，g′（x），g（x）的变化如下表：
∴增区间为：(-∞，1)，(
，+∞)；减区间为：(1，
)（10分）
（ⅱ）当a＜3时，x，g′（x），g（x）的变化如下表：
∴增区间为：(1，+∞)，(-∞，
)；减区间为：(
，1)．（12分）
∵f（x）在[1+
| 2 |
∴f′（x）≥0在[1+
| 2 |
即a≤
| 3x2-3 |
| 2x |
| 2 |
| 3x2-3 |
| 2x |
又∵f′（x）在（-∞，1]上是减函数，∴
| a |
| 3 |
∴a=3．（6分）
（Ⅱ）g（x）=x3-ax2-3x-（3x2-2ax-3）+3x2=x3-ax2-（3-2a）x+3
g′（x）=3x2-2ax+（2a-3）=0?x1=1，x2=
| 2a-3 |
| 3 |
（ⅰ）当a≥3时，x，g′（x），g（x）的变化如下表：
∴增区间为：(-∞，1)，(
| 2a-3 |
| 3 |
| 2a-3 |
| 3 |
（ⅱ）当a＜3时，x，g′（x），g（x）的变化如下表：
∴增区间为：(1，+∞)，(-∞，
| 2a-3 |
| 3 |
| 2a-3 |
| 3 |
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|