题目内容
设函数fn( θ )=sinnθ+( -1 )ncosnθ，0≤θ≤
，其中n为正整数．
（Ⅰ）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；
（Ⅱ）证明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；
（Ⅲ）试给出求函数fn（θ）的最大值和最小值及取得最值时θ的取值的一般规律（不要求给出证明）．
| π |
| 4 |
（Ⅰ）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；
（Ⅱ）证明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；
（Ⅲ）试给出求函数fn（θ）的最大值和最小值及取得最值时θ的取值的一般规律（不要求给出证明）．
| fn（θ） | fn（θ）的 单调性 |
fn（θ）的最小值及取得最小值时θ的取值 | fn（θ）的最大值及取得最大值时θ的取值 |
| n=1 | |||
| n=2 | |||
| n=3 | |||
| n=4 | |||
| n=5 | |||
| n=6 |
分析：（1）设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，
]，根据三角函数的特点判断f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1）＜0，从而得出结论；
（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ，同理原式右边也等于cos22θ，从而证明结论．
（3）当n=1时，f1（θ）在[0，
]上单调递增，求出最值；当n=3时，f3（θ）在[0，
]上为单调递增，求出最值；
正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出fn（θ）的最大值为fn(
)=0，最小值为fn（0）=-1．
| π |
| 4 |
（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ，同理原式右边也等于cos22θ，从而证明结论．
（3）当n=1时，f1（θ）在[0，
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出fn（θ）的最大值为fn(
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）f1（θ）、f3（θ）在[ 0，
]上均为单调递增的函数．…（1分）
设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，
]，则sinθ1＜sinθ2，cosθ2＜cosθ1，
∴f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1）＜0，
∴f1（θ1）＜f1（θ2），
∴函数f1（θ）在[ 0，
]上单调递增；
同理f3（θ1）-f3（θ2）=（sin3θ1-sin3θ2）+（cos3θ2-cos3θ1）＜0，
∴f3（θ1）＜f3（θ2），
∴函数f3（θ）在[ 0，
]上单调递增；…（3分）
（Ⅱ）∵原式左边=2（sin6θ+cos6θ）-（sin4θ+cos4θ）
=2（sin2θ+cos2θ）（sin4θ-sin2θ•cos2θ+cos4θ）-（sin4θ+cos4θ）
=1-sin22θ=cos22θ．…（5分）
又∵原式右边=（cos2θ-sin2θ）2=cos22θ，
∴2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）．…（6分）
（Ⅲ）当n=1时，函数f1（θ）在[ 0，
]上单调递增，
∴f1（θ）的最大值为f1(
)=0，最小值为f1（0）=-1，
当n=2时，f2（θ）=1，
∴函数f2（θ）的最大、最小值均为1；
当n=3时，函数f3（θ）在[ 0，
]上为单调递增，
∴f3（θ）的最大值为f3(
)=0，最小值为f3（0）=-1；
当n=4时，函数f4(θ)=1-
sin22θ在[ 0，
]上单调递减，
∴f4（θ）的最大值为f4（0）=1，最小值为f4(
)=
；
下面讨论正整数n≥5的情形：
当n为奇数时，对任意θ1、θ2∈[ 0，
]且θ1＜θ2，
∵fn（θ1）-fn（θ2）=（sinnθ1-sinnθ2）+（cosnθ2-cosnθ1），
以及 0≤sinθ1＜sinθ2＜1，0＜cosθ2＜cosθ1≤1，
∴sinnθ1＜sinnθ2，cosnθ2＜cosnθ1，从而 fn（θ1）＜fn（θ2），
∴fn（θ）在[ 0，
]上为单调递增，则fn（θ）的最大值为fn(
)=0，最小值为f4（0）=-1；
当n为偶数时，一方面有 fn（θ）=sinnθ+cosnθ≤sin2θ+cos2θ=1=fn（0），
另一方面，由于对任意正整数l≥2，有2f2l（θ）-f2l-2（θ）=（cos2l-2θ-sin2l-2θ）（cos2θ-sin2θ）≥0，
∴fn(θ)≥
fn-2(θ)≥…≥
f2(θ)=
=fn(
)．
∴函数fn（θ）的最大值为fn（0）=1，最小值为fn(
)=2
．
综上所述，当n为奇数时，函数fn（θ）的最大值为0，最小值为-1．
当n为偶数时，函数fn（θ）的最大值为1，最小值为2
．…（9分）
| π |
| 4 |
设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，
| π |
| 4 |
∴f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1）＜0，
∴f1（θ1）＜f1（θ2），
∴函数f1（θ）在[ 0，
| π |
| 4 |
同理f3（θ1）-f3（θ2）=（sin3θ1-sin3θ2）+（cos3θ2-cos3θ1）＜0，
∴f3（θ1）＜f3（θ2），
∴函数f3（θ）在[ 0，
| π |
| 4 |
（Ⅱ）∵原式左边=2（sin6θ+cos6θ）-（sin4θ+cos4θ）
=2（sin2θ+cos2θ）（sin4θ-sin2θ•cos2θ+cos4θ）-（sin4θ+cos4θ）
=1-sin22θ=cos22θ．…（5分）
又∵原式右边=（cos2θ-sin2θ）2=cos22θ，
∴2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）．…（6分）
（Ⅲ）当n=1时，函数f1（θ）在[ 0，
| π |
| 4 |
∴f1（θ）的最大值为f1(
| π |
| 4 |
当n=2时，f2（θ）=1，
∴函数f2（θ）的最大、最小值均为1；
当n=3时，函数f3（θ）在[ 0，
| π |
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∴f3（θ）的最大值为f3(
| π |
| 4 |
当n=4时，函数f4(θ)=1-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f4（θ）的最大值为f4（0）=1，最小值为f4(
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
下面讨论正整数n≥5的情形：
当n为奇数时，对任意θ1、θ2∈[ 0，
| π |
| 4 |
∵fn（θ1）-fn（θ2）=（sinnθ1-sinnθ2）+（cosnθ2-cosnθ1），
以及 0≤sinθ1＜sinθ2＜1，0＜cosθ2＜cosθ1≤1，
∴sinnθ1＜sinnθ2，cosnθ2＜cosnθ1，从而 fn（θ1）＜fn（θ2），
∴fn（θ）在[ 0，
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
当n为偶数时，一方面有 fn（θ）=sinnθ+cosnθ≤sin2θ+cos2θ=1=fn（0），
另一方面，由于对任意正整数l≥2，有2f2l（θ）-f2l-2（θ）=（cos2l-2θ-sin2l-2θ）（cos2θ-sin2θ）≥0，
∴fn(θ)≥
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
2
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| 1 | ||
2
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∴函数fn（θ）的最大值为fn（0）=1，最小值为fn(
| π |
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(
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综上所述，当n为奇数时，函数fn（θ）的最大值为0，最小值为-1．
当n为偶数时，函数fn（θ）的最大值为1，最小值为2
(
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点评：本题考查了三角函数的最值，函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系，一般根据定义判断函数的单调性，是难题．
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