Question

已知双曲线，
（1）F₁，F₂是左右两焦点，过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点，求双曲线方程．
（2）若y=kx+1与（1）中双曲线左支交于A，B，有一直线l过AB中点和L（-2，0），求l在y轴上截距取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点，知c=，设所求的双曲线为，把点代入，得a²=1，由此能求出双曲线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点（x，y），（1-k²）x²-2kx-2=0，，由x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，能够导出l在y轴上截距取值范围．
解答：（1）∵过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点，
∴c=，
设所求的双曲线为，
把点代入，得a²=1，
∴双曲线方程x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB中点（x，y）
，（1-k²）x²-2kx-2=0，
，
∵x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
（2′）
=，
∵，∴y∈（5′）
点评：本题考查双曲线方程的求法和l在y轴上截距取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．