Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间[，4]上的最大值与最小值的差为3，求a的值．

Answer 1

解：①当a＞1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为增函数，
∴在[12，4]上函数f（x）的最小值，最大值分别为： f（x）_max=f（4）=log_a4，
∴，
即log_a4+log_a2=log_a8=3，
而log₂8=3，
∴a=2；
②当0＜a＜1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为减函数，
∴在[12，4]上函数f（x） 的最小值、最大值分别为 f（x）_min=f（4）=log_a4，，
∴，
即，
而
∴；
综上所述a=2 或．
分析：本题要对字母a进行讨论．①a＞1时，原函数在[，4]为单调增函数，在根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于a的方程即可求解②0＜a＜1 时，原函数在[，4]为单调减函数，在根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于a的方程即可求解
点评：本题考查了对数函数的单调性，要注意对a的进行讨论，属于基础题．