Question

(本题满分16分)

已知曲线E：ax²＋by²＝1（a＞0，b＞0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交

于点A、B，且→＝－2→．

（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；

（2）若a＝b＝1，求直线AB的方程．

Answer 1

解：

设A(x₀，y₀)，因为B(0，2)，M(，0)

  故→＝(－，2)，→＝(x₀－，y₀)．  ……………………………………2分

因为→＝－2→，所以(－，2)＝－2(x₀－，y₀)．

所以x₀＝，y₀＝－1．即A(，－1)．    ……………………………………4分

因为A，B都在曲线E上，所以解得a＝1，b＝．

所以曲线E的方程为x²＋＝1．           ……………………………………6分

（2）（法一）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x²＋y²＝1．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

因为→＝－2→，所以(x₂－，y₂) ＝－2(x₁－，y₁)，即

设线段AB的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，－)．

所以((OT＝(，－)，((AB＝(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(－3x₁，－3y₁)．

因为OT⊥AB，所以((OT×((AB＝0，即3－4x₁＋3x＋3y＝0．

因为x＋y＝1，所以x₁＝，y₁＝±．

当点A的坐标为(，－)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率

k＝－，所求直线AB的方程为y＝－x＋1；

当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，－1)，此时直线AB的斜率k＝，

所求直线AB的方程为y＝x－1．          ……………………………………16分

（法二）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x²＋y²＝1．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

因为→＝－2→，所以(x₂－，y₂) ＝－2(x₁－，y₁)，即

因为点A，B在圆上，所以 

由①×4－②，得(2x₁＋x₂)(2x₁－x₂)＝3．所以2x₁－x₂＝，解得x₁＝，x₂＝0．

由x₁＝，得y₁＝±．（以下同方法一）

（法三）如图，设AB中点为T．

则TM＝TA－MA＝AB，OM＝．

根据Rt△OTA和Rt△OTM，得

即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tanÐOMT＝＝．

所以k_AB＝－或．所以直线AB的方程为y＝－x＋1或y＝x－1．