Question

设f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₂₀₁₁=

(

1

2

)2012

．

Answer 1

分析：根据已知可得an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2 fn(0)

=-

1

2

an，结合等比数列的通项公式可求a_n，进而可求

解答：解：∵f₁（0）=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2 fn(0)

=-

1

2

an
∴数列{a_n}是首项为

1

4

为首项，以-

1

2

为公比的等比数列
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1
∴a2011=

1

4

•(-

1

2

)2010=(

1

2

)2012
故答案为：(

1

2

)2012

点评：本题以函数为载体，考查数列的通项，考查等比数列的定义，等比数列的通项公式的应用，具有一定的综合性