Question

已知函数和函数，记．

（1）当时，若在上的最大值是，求实数的取值范围；

（2）当时，判断在其定义域内是否有极值，并予以证明；

（3）对任意的，若在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）时，．

①当时，，不合题意；

       ②当时，在上递增，在上递减，而，故不合题意；

       ③当时，在上递减，在上递增， 在上的最大值是，所以，即，所以．

       综上所述，实数的取值范围是．

       （2）时，定义域为，．

       ①当时，，在上单调递增，从而在其定义域内没有极值；

       ②当时，，令有，但是时，，单调递增，时，，也单调递增，所以在其定义域内也没有极值．

       综上，在其定义域内没有极值．

       （3）据题意可知，令，即方程 在上恒有两个不相等的实数根．即恒成立，因为，，所以．