Question

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若存在，使得f（x）+f（-x）=a成立，求实数a的取值范围；
（2）若可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）若对任意x∈[1，2]都有p（t）≥m²-m-1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若存在x，使得f（x）+f（-x）=a成立，由方程思想，转化成方程f（x）+f（-x）=a有解．
（2）假设f（x）=g（x）+h（x）其中g（x）为偶函数，h（x） 为奇函数，则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x），解关于g（x），h（x）的方程组求出 g（x），h（x）．再利用整体换元法求出 p（t）的解析式p（t）=t²+2mt+m²-m+1．
（3）利用分离参数法将m与x分离，转化成m≥-

t2+2

2t

=-(

t

2

+

1

t

)对于t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，只需m大于或等于-(

t

2

+

1

t

)的最大值即可．利用基本不等式或函数单调性求出-(

t

2

+

1

t

)的最大值，可得数m的取值范围．

解答：解：（1）依题意有a=2^x+1+2^-x+1，
即关于x的方程a=2•2x+

2

2x

有解．…（2分）
而2•2x+

2

2x

≥2

2•2x• 2 2x

=4，当且仅当2•2x=

2

2x

，即x=0时等号成立，故实数a的取值范围是[4，+∞）．（4分）
（2）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x） 为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②得g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

（5分）
∵f（x）定义在R上，
∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g(x)，h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-h(x)．∴满足g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
又∵f（x）=2^x+1，
∴g(x)=

f(x)+f(-x)

2

=

2x+1+2-x+1

2

=2x+

1

2x

h(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x+1-2-x+1

2

=2x-

1

2x

．（7分）
由2x-

1

2x

=t，则t∈R，平方，
得t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，
故p（t）=t²+2mt+m²-m+1．（9分）
（3）∵t=h（x）在x∈[1，2]上是增函数，（10分）
∴

3

2

≤t≤

15

4

．（12分）
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，
∴m≥-

t2+2

2t

=-(

t

2

+

1

t

)对于t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立（14分）
令φ(t)=-(

t

2

+

1

t

)，则

t

2

+

1

t

≥

2

，
当且仅当t=

2

时等号成立，而

2

∉[

3

2

，

15

4

]，
∴函数φ(t)=-(

t

2

+

1

t

)在t∈[

3

2

，

15

4

]上是减函数，
∴φ(t)max=φ(

3

2

)=-

17

12

，故m≥-

17

12

．（16分）

点评：本题考查函数奇偶性的意义及应用，换元法求函数解析式，函数最值求解，不等式恒成立问题．考查方程思想、分离参数、换元的思想方法．