题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ ，其中向量 $数学公式$ =（2cosx，1）， $数学公式$ =（cosx， $数学公式$ sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（- $数学公式$ ，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（2cosx，1）， $\text{[math]}$ =（cosx， $\text{[math]}$ sin2x），
∴f（x）= $\text{[math]}$ =2cos²x+ $\text{[math]}$ sin2x=cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x+1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1
∵f（x）=0，∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
∵x∈（- $\text{[math]}$ ，0），∴2x+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴2x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴x=- $\text{[math]}$ ，
∴tan2x=- $\text{[math]}$ ；
（2）∵△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，
∴b²=ac
由余弦定理可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$
∴0＜B≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜2B+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≤sin（2B+ $\text{[math]}$ ）≤1
∴2≤f（B）≤3．
分析：（1）利用向量的数量积运算，结合辅助角公式化简函数，利用f（x）=0，可求x的值，进而可得tan2x的值；
（2）根据△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，可得b²=ac，利用余弦定理，结合基本不等式，可确定B的范围，进而可得f（B）的取值范围．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数，考查等比数列，考查余弦定理与基本不等式的运用，化简函数是关键，属于中档题．