Question

已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁(-c，0)，F₂(c，0)(c＞0)，且c-a=2-，又双曲线C上的任意一点E满足||EF₁|-|EF₂||=2．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)若双曲线C上的点P满足=1,求的值；

(Ⅲ)若直线y=kx+m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，-1)，求实数m的取值范围．

Answer 1

本小题考查双曲线方程，直线与圆锥曲线关系及向量的应用．

解：(Ⅰ)由 ||EF₁|-|EF₂||=2a=．

∵c-a=2-，∴c=2．∴b²=c²-a²=1．

∴双曲线C的方程为=1．

(Ⅱ)设||=r₁，||=r₂，不妨设r₁＞r₂＞0，∠F₁PF₂=θ．

由·=1r₁r₂cosθ=1．

又r₁-r₂=2-2r₁r₂=12．

在△PF₁F₂中,由余弦定理得16=-2r₁r₂cosθ．

∴r₁r₂=3．     ∴||·||=3．

(Ⅲ)联立，整理得

(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0．

∵直线与双曲线有两个不同交点，

∴1-3k²≠0且△=12(m²+1-3k²)＞0．  ① 

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中点为B (x₀，y₀)，则x₁+x₂=,

∴x₀=,∴y₀=k x₀+m=.

由题意AB⊥MN，∴k_AB=(k≠0，m≠0)．

整理得3k²+4m+1． ② 

将②式代入①式，得m²-4m＞0，∴m＞4或m＜0．

又3k²=4m+1＞0(k≠0)即m＞．

∴m的取值范围为m，4或＜m＜0．